기하적 중복도

기하적 중복도는 선형 변환이나 행렬의 특정 고유값에 대응하는 고유공간의 차원을 의미한다. 이는 해당 고유값에 대해 서로 선형 독립인 고유벡터가 몇 개 존재하는지를 나타내는 척도이다. 예를 들어, 어떤 고유값에 대한 고유공간이 2차원이라면, 그 고유값의 기하적 중복도는 2가 된다. 이는 그 고유값에 대해 두 개의 독립적인 방향으로 고유벡터가 존재함을 의미한다.

기하적 중복도는 같은 고유값에 대한 또 다른 개념인 대수적 중복도와 밀접한 관계가 있다. 대수적 중복도는 특성 다항식에서 해당 고유값이 근으로 몇 번 등장하는지를 나타내는 반면, 기하적 중복도는 실제로 그 고유값에 대응하는 고유벡터들이 펼치는 공간의 크기를 나타낸다. 이 두 중복도 사이에는 항상 '기하적 중복도 ≤ 대수적 중복도'라는 중요한 부등식이 성립한다.

이 개념은 선형대수학에서 대각화 가능성을 판별하는 데 핵심적인 역할을 한다. 어떤 행렬이 대각화 가능하기 위해서는 모든 고유값에 대해 기하적 중복도와 대수적 중복도가 일치해야 한다. 만약 특정 고유값의 대수적 중복도가 2인데, 기하적 중복도가 1이라면, 충분한 수의 독립적인 고유벡터를 찾을 수 없어 행렬을 대각행렬로 변환하는 것이 불가능해진다.

따라서 기하적 중복도는 단순히 고유벡터의 개수를 세는 것을 넘어, 선형 변환의 구조를 이해하고 행렬을 대각화할 수 있는지 여부를 분석하는 데 필수적인 도구이다. 이는 함수해석학이나 다양한 공학 및 과학 분야에서 선형 시스템의 성질을 파악하는 데 널리 응용된다.

기하적 중복도와 대수적 중복도는 동일한 고유값에 대해 정의되는 두 가지 중요한 수치적 개념이다. 이 둘 사이에는 명확한 관계가 존재한다.

기하적 중복도는 특정 고유값에 대응하는 고유벡터들이 이루는 고유공간의 차원을 의미한다. 반면, 대수적 중복도는 특성 다항식을 인수분해했을 때 해당 고유값이 근으로 나타나는 중복도, 즉 근의 개수를 의미한다. 이 두 중복도 사이에는 항상 '기하적 중복도 ≤ 대수적 중복도'라는 부등식이 성립한다. 이는 하나의 고유값에 대해 선형 독립인 고유벡터의 개수가, 그 고유값이 특성 방정식에서 나타나는 횟수를 초과할 수 없음을 보여준다.

이 부등식은 선형 변환이나 행렬의 대각화 가능성을 판별하는 데 핵심적인 역할을 한다. 어떤 고유값에 대해 기하적 중복도와 대수적 중복도가 일치하면, 해당 고유공간에서 충분한 수의 선형 독립인 고유벡터를 찾을 수 있다는 의미이다. 만약 모든 고유값에 대해 두 중복도가 같다면, 충분한 고유벡터들을 모아 기저를 구성할 수 있게 되어 해당 선형 변환은 대각화 가능하다. 반대로, 어떤 고유값에서 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작다면, 고유벡터가 부족하여 대각화가 불가능해지고, 조르당 표준형을 고려해야 한다.

주어진 고유값 λ에 대한 고유공간의 차원, 즉 기하적 중복도를 구하는 방법은 그 고유공간 자체의 차원을 직접 계산하는 것이다. 이는 선형 변환 (A - λI)의 핵(Kernel)의 차원을 구하는 것과 동일하다. 여기서 A는 주어진 행렬 또는 선형 변환을 나타내는 행렬이고, I는 단위행렬이다.

구체적으로, 고유값 λ가 주어졌을 때, 연립일차방정식 (A - λI)v = 0을 만족하는 모든 벡터 v의 집합이 고유공간 V_λ이다. 이 연립방정식의 해공간의 차원은 랭크-영차원 정리에 의해 구할 수 있다. 즉, 고유공간의 차원(기하적 중복도)은 전체 공간의 차원 n에서 행렬 (A - λI)의 랭크를 뺀 값, dim(V_λ) = n - rank(A - λI)과 같다. 따라서, 주어진 λ에 대해 행렬 (A - λI)의 계수(랭크)를 구하면 기하적 중복도를 쉽게 계산할 수 있다.

이 계산은 선형 변환의 대각화 가능성을 판별하는 데 핵심적이다. 어떤 고유값의 대수적 중복도가 r이라면, 그 고유값에 대한 기하적 중복도는 항상 r 이하이다. 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작으면, 해당 고유값에 대한 고유벡터가 충분히 많지 않아 행렬이 대각화 불가능할 수 있다. 반대로, 모든 고유값에 대해 두 중복도가 일치하면, 충분한 수의 일차독립인 고유벡터를 찾을 수 있어 행렬은 대각화 가능하다.

어떤 고유값의 기하적 중복도는 항상 그 고유값의 대수적 중복도보다 작거나 같다. 즉, 기하적 중복도 ≤ 대수적 중복도라는 부등식이 성립한다. 이는 선형대수학의 기본 정리 중 하나이다.

이 부등식이 성립하는 이유는 고유공간의 차원(기하적 중복도)이 특성 다항식의 근의 중복도(대수적 중복도)를 넘을 수 없기 때문이다. 구체적으로, 고유값 λ에 대한 고유공간의 차원이 r이라면, 행렬을 적절한 기저 변환(닮음 변환)을 통해 블록 삼각행렬 형태로 나타낼 수 있다. 이때 λ는 변환된 행렬의 특성 다항식에서 적어도 r차 근으로 나타나므로, 원래 행렬에서 λ의 대수적 중복도는 r 이상이 된다.

이 부등식은 행렬의 대각화 가능성을 판별하는 데 핵심적인 역할을 한다. 행렬이 대각화 가능하기 위한 필요충분조건은 모든 고유값에 대해 기하적 중복도와 대수적 중복도가 일치하는 것이다. 만약 어떤 고유값에서 두 중복도가 다르다면, 그 행렬은 대각화될 수 없으며, 조르당 표준형으로 나타내야 한다.

기하적 중복도는 선형 변환의 대각화 가능성 판별에 핵심적인 역할을 한다. 어떤 선형 변환 또는 정사각행렬이 대각화 가능하기 위한 필요충분조건은, 그 고유값의 대수적 중복도와 기하적 중복도가 모든 고유값에 대해 일치하는 것이다. 즉, 각 고유값에 대해 고유다항식에서의 근의 중복도(대수적 중복도)와 해당 고유공간의 차원(기하적 중복도)이 같아야 한다.

이 조건이 충족되면, 모든 고유공간의 기저 벡터들을 모아 전체 벡터 공간의 기저를 구성할 수 있으며, 이 기저는 고유벡터로만 이루어진 고유기저가 된다. 이 고유기저를 열벡터로 하는 가역행렬 P를 이용하면, 원래 선형 변환의 행렬 표현 A는 P^(-1)AP 꼴로 대각행렬 D로 닮음 변환될 수 있다. 이 대각행렬 D의 대각선 성분은 A의 고유값들로 채워진다.

반대로, 만약 어떤 고유값의 기하적 중복도가 대수적 중복도보다 작다면, 해당 고유값에 대한 일차독립인 고유벡터의 수가 충분하지 않아 전체 공간의 기저를 고유벡터만으로 완성할 수 없다. 따라서 행렬은 대각화 가능하지 않으며, 조르당 표준형과 같은 더 일반적인 형태로 변환해야 한다. 이 관계는 선형대수학에서 행렬의 구조를 분석하는 데 중요한 도구가 된다.